Aksjomat wyboru - Warszawa

Aksjomat wyboru

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Dla każdej rodziny \mathcal{U} niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór V, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny \mathcal{U} (zbiór taki nazywany jest selektorem).
\bigwedge_{\mathcal{U}} \Bigg[\Big(\bigwedge _{X \in \mathcal{U}} X \neq \varnothing\Big) \land \Big(\bigwedge _{X,Z \in \mathcal{U}} \big(X \neq Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing\big)\Big) \implies \bigvee_V \bigwedge_{X \in \mathcal{U}} \bigvee_z \big(X \cap V= \{z\}\big)\Bigg]

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego \prod_{i\in I} A_i są funkcje f\colon I\to \bigcup_{i\in I}A_i spełniące f(i)\in A_i dla każdego i\in I. Aksjomat wyboru postuluje:

Jeśli \{A_i\colon i\in I\} jest rodziną zbiorów spełniącą warunek A_i\neq \varnothing dla każdego i\in I, wówczas istnieje funkcja wyboru f taka, że f(i)\in A_i dla każdego i\in I.

Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.

[edytuj] Kontrowersje

Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC, udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R3 można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.

Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt.

Można również rozważać modele teorii mnogości (tzn. aksjomatów ZF), w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.

[edytuj] SÅ‚absze formy

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru, ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji, jednak w wielu zastosowaniach wystarczających i nierzadko wygodniejszych.

Te słabsze formy są często podobne do aksjomatu wyboru i tylko ograniczają rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych zbiorów (ACF), albo zakładają że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu. Następujące postulaty wynikają oczywiście z ZFC:

  • Zasada wyboru - SP[1]
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru X pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów dajÄ…cych siÄ™ dobrze uporzÄ…dkować - ACWO
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru X dającemu się dobrze uporządkować.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów skoÅ„czonych - ACF
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych - Cn
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego n-elementowego podzbioru zbioru X.
  • Przeliczalny aksjomat wyboru - CAC albo ACω
Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie inną formę:

  • Aksjomat liniowego uporzÄ…dkowania - OP
Każdy zbiór da się liniowo uporządkować.
  • Aksjomat podziaÅ‚u - PP
Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

(Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.)

  • Zasada wyborów zależnych - PDC albo DC
Niech X będzie niepustym zbiorem, oraz R\subseteq X\times X będzie pewną relacją na X. Jeżeli
\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in X} xRy,
wówczas istnieje ciąg (xn) elementów zbioru X, że
x_0Rx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_nRx_{n+1}, \ldots

(Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF+PDC, czyli układ

ZF+PDC+"każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny"

jest niesprzeczny.)

  • Istnienie ultrafiltrów - BPI
Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr.

(Ten aksjomat wystarczy aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, i twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni T2.)

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

AC ⇒ PDC ⇒ CAC
AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n Cn ⇒ Cm ⇒ PP
AC ⇒ BPI ⇒ OP
AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

Przypisy

  1. ↑ Nazwy skrótów pochodzą z języka angielskiego, odpowiednio od Selection Principle, Axiom of choice for well orderable sets, Axiom of choice for finite sets, Axiom of choice for finite sets of n elements, Countable axiom of choice, The Ordering Principle, Partition Principle, Principle of dependent choices, Boolean prime ideal theorem.

[edytuj] Bibliografia

  1. Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. 
  2. Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973. 

[edytuj] Zobacz też





Hanna Banaszak Hermiona Akwarium domy w hiszpanii mieszkania poznañ
Nowy tablet od HP
Firma Hewlett-Packard wprowadza do swej oferty nowy tablet. UrzÄ…dzenie nosi nazwÄ™ TouchSmart TX2.
Jak wybrać aparat cyfrowy
Chcesz kupić cyfrówkę, ale nie wiesz na jaki model się zdecydować? Wahasz się, czy kupić prosty kompakt, czy też zainwestować w lustrzankę? Nasz poradnik pomoże ci podjąć właściwą decyzję.
Najlepsze notebooki i netbooki
Zobacz, jakie obecne na rynku netbooki oraz notebooki w cenie 2000 i 3000 zł. są warte uwagi.
Jak wybrać notebooka i netbooka
Myślisz o kupnie komputera przenośnego w cenie od 1000 do 3000 zł? Zanim pójdziesz do sklepu w święta przeczytaj nasz poradnik.
Pierwszy Windows ma 23 lata
Microsoft wydał na świat pierwszą edycję swojego systemu operacyjnego Windows 20 listopada 1985 roku. Pierwsze "okienka" oznaczone były jako 1.0. Był to pierwszy system, który umożliwiał skorzystanie z myszki.